O custo de não cooperar

Imagine que você está posicionado na margem de um tabuleiro de xadrez gigante e sem peças. Na margem oposta, encontra-se o seu oponente. Cada um deseja ficar com o maior número de casas possíveis deste tabuleiro. Vocês devem negociar entre si para chegar a um acordo.

Como toda negociação, existem regras. Funciona da seguinte forma:

1) Você tem direito de fazer uma proposta de divisão ao seu oponente. Ele aceita ou não. Caso aceite, a negociação está encerrada. Caso contrário, ele tem o direito de fazer uma contraproposta. Assim segue o jogo, alternadamente, até que seja alcançado um acordo.

2) Existe uma limitação importante. Em cada estágio que NÃO for atingido um acordo, o total de número de casas do tabuleiro se reduz. Ou seja, se no início, a divisão proposta se referia a todas as 64 casas, na etapa seguinte, em caso de fracasso na primeira rodada de negociações, ambos os jogadores são punidos e o tabuleiro “perde” uma casa. Eles têm o direito de dividir entre si apenas 63 casas. Em caso de que na rodada seguinte novamente não haja um acordo, os jogadores poderão dividir apenas 62 casas, e assim por diante.

Se ambos os jogadores são racionais, maximizam a sua utilidade e tem informação completa em relação ao jogo. Qual será o resultado desta negociação?

Resposta. Os jogadores dividirão o tabuleiro logo na primeira rodada e sob determinadas condições, essa divisão ficará muito próxima de metade para cada um.

Qual o racional por trás desta solução?

Devemos pensar o jogo de trás para frente (indução reversa). Vamos supor que faltam apenas duas casas. O jogador que propõe a divisão tem duas opções. Fazer a proposta de duas casas para si e nenhuma para o oponente ou dividir igualmente as duas casas entre ambos. Obviamente, a primeira proposta será rejeitada.

No entanto, caso o oponente aceite a segunda proposta, ele mesmo (o oponente) se encontra agora em uma situação contraditória, pois poderia ter obtido um resultado ainda melhor caso na rodada anterior (rodada em que ele propunha a oferta), em que ainda haviam 3 casas em disputa (lembre-se da condição 2), tivesse proposto uma divisão de duas casas para si e uma para o seu oponente. Este processo de indução reversa continua alternadamente até voltarmos a rodada inicial.

Complicado? Um pouco. No Box 1 fiz uma explicação simplificada de todo o modelo. O final exige um pouco de matemática, mas aconselho todos os leitores a serem persistentes e não desistirem com facilidade. Tentei explicar tudo passo a passo de maneira bem simplificada. O seu entendimento tornará mais fácil a compreensão do racional dos resultados, que serão discutidos mais adiante. Caso você não consiga acompanhar o modelo, pule a explicação do Box 1, continue a leitura e apenas confie nos resultados e nas interpretações que eu apresentarei adiante.

Box 1:  O problema da Barganha – O modelo de Rubinstein (simplificado)

Hipóteses:

(I) Dois jogadores (que a partir de agora chamaremos de A e B) com informação completa.

(II) A e B buscam dividir certa quantia em dinheiro (digamos aqui que seja 100 reais) e fazem entre si um número ilimitado de ofertas. Ou seja, primeiro A tentará fazer um acordo oferecendo uma parte destes 100 para B. Se B recusar, ele pode fazer uma contraproposta. E assim por diante. As ofertas são sempre alternadas.

(III) Cada vez que a proposta do outro jogador é recusada, a quantidade a ser dividida entre os dois, sinalizada pela letra grega δ (delta), se reduz por uma taxa que aqui chamaremos de t. Existem algumas formas de interpretar esta taxa, conhecida como fator de desconto. No artigo explico estas possíveis interpretações.

(IV) As utilidades dos jogadores provém apenas das recompensas em dinheiro que eles recebem.

O jogo se desenvolve da seguinte forma: no primeiro período, eles negociarão os 100 reais. Ou seja, δ = 100. Caso não cheguem a um acordo, passam ao segundo período, em que tem a possibilidade de negociar o equivalente à δ (2) = 100 x ( 1 – ). O numero 2 entre parenteses significa que estamos tratando do valor de δ na segunda rodada. Para facilitar nossa exposição, vamos supor que t = 0.1. Vocês podem substituir e verificar que nesse caso, δ (2) = 90. No terceiro período, o valor sera  δ (3) = 81. Obtido por meio da equação δ (3)= 100 x ( 1 –  2 .Observe que o valor de t  deve ficar no intervalo entre 0  ≤  t  ≤  1.

Vamos resolver o modelo no caso em que ele é jogado em apenas uma rodada. A seguir, discutiremos o caso de duas e três rodadas. Por fim, apenas na última parte, resolveremos a situação mais interessante: o modelo com jogadas ilimitadas.

Se houver apenas uma rodada (um caso especial onde t = 0) , o jogador A faz a primeira oferta e B responde se aceita ou não (não podendo fazer nenhuma contraproposta). Vamos descrever esse jogo da seguinte maneira:

Slide1

Ou seja, A deve oferecer um valor para B e B deve decidir se aceita ou não esta divisão. Considerando que se B não aceitar a divisão, ambos ganharão {(0,0)}, B tem o incentivo de aceitar qualquer valor positivo. Desta forma, A pode oferecer a menor quantia possível (contanto que seja maior que zero), que B irá aceitar. – lembre-se que o fator de desconto ( ) neste caso é igual à zero. Utilizarei agora uma simplificação. Para facilitar contas futuras, diremos que B receberá como recompensa zero, enquanto na verdade, B estará ganhando um valor positivo, extremamente próximo de zero (imagine que basta 1 centavo para fazer com que B aceite a proposta.

Ao invés de escrevermos que B ganhará um centavo, colocaremos que B receberá zero. A ficará com praticamente todo o dinheiro (99,99,que será representado para nós como 100). Vamos ignorar essa pequena diferença na hora de montar a tabela abaixo,para que as contas futuras fiquem mais fáceis. Começaremos uma pequena tabela para ir mostrando quanto cada um terá obtido ao término de cada rodada. Se o jogo tem apenas uma rodada, a tabela fica desta forma:

Tabela I – Recompensas do modelo da Barganha limitado a uma oferta

Número de Etapas Recompensa de A Recompensa de B
1 100 0
2
3

Seguiremos adiante para o caso em que este mesmo jogo tem duas etapas. A oferecerá uma divisão a B, que poderá aceitar ou recusar esta oferta. Caso recuse, B terá a possibilidade de fazer uma contraproposta (mas lembre-se que a partir da segunda rodada, o tamanho do valor a ser dividido é menor que 100, por causa do fator de desconto . Em nosso exemplo, t = 0.10, resultando em um valor a ser dividido de apenas 90 na segunda etapa). O jogo pode ser representado de forma sequencial da seguinte maneira:

Slide2

Espero que vocês não desanimem por causa do aumento do número de letras no problema, pois o entendimento não é dos mais complicados. Para resolvermos o problema em situações como estas, utilizaremos o método de indução reversa [i].  A idéia é simples. Devemos analisar o que o último jogador faria na etapa final e ir “voltando” pelas etapas anteriores até chegar a primeira. Utilizaremos esse mesmo conceito de solução no próximo jogo de três etapas.

O que diz o esquema acima? Vamos resolvê-lo pelo fim. B, o último a oferecer uma proposta, tem como opção receber zero (caso A não aceite a partilha na segunda rodada) ou receber algum valor positivo. Evidentemente, B oferecerá o menor valor possível, apenas para fazer com que A aceite a proposta (já que se A não aceitar, ele também receberá zero). No entanto, vocês devem recordar que agora eles estão dividindo um valor menor ( δ (2) = 100 x (1 – ) ) , pois estamos na segunda etapa.

Desta forma, B oferecerá a A um valor muito próximo de zero (vamos supor novamente 1 centavo), enquanto B ficará com todo o resto (que será o valor do total dividido na segunda etapa. Em nosso exemplo numérico equivale a dizer que  δ (2) = 89,99.

A partir de agora, se inicia a lógica de indução reversa. Sabendo que receberá apenas 1 centavo na segunda etapa, A tem como interesse, logo na primeira etapa, oferecer a B, 90 reais – o mesmo que B receberia na segunda rodada. Assim, A melhora a sua situação e fica com 10 reais para si, visto que na primeira etapa, o valor a ser dividido ainda é de 100 reais. Observe que nesta situação, A se favorece por ganhar mais na primeira rodada no caso de B aceitar o compromisso logo no início. A recompensa de cada um pode ser definida de acordo com a tabela abaixo:

Número de Etapas Recompensa de A Recompensa de B
1 100 0
2 10 90
3

Trabalhando com valores diferentes, colocando variáveis ao invés de números, e fazendo uma “normalização” dos valores, a tabela ficaria assim.

Número de Etapas  Recompensa de A Recompensa de B
1 1 0
2 1 – δ (2) δ (2)
3

Veremos o terceiro exemplo agora. A partir deste exemplo, poderemos observar um padrão que nos permitirá seguir até o modelo de infinitas etapas. Ao invés de colocar em forma estendida como temos feito até agora, vamos discutir o modelo de três etapas de acordo com o quadro abaixo:

Etapa de número Quem está fazendo a oferta Estratégia de A Estratégia de B
1 A
2 B
3 A Oferecer o mínimo suficiente para que B aceite a proposta Aceita o menor número positivo oferecido por A, pois em caso contrário, ambos ganham zero

Novamente, por indução reversa, temos que na ultima etapa, A oferecerá a B um valor mínimo positivo que o faca aceitar a proposta, e ficará com todo o resto para si. Mas como estamos na terceira etapa, “todo o resto” significa  em nosso exemplo numérico apenas 81 reais. (Substitua na equação para obter este resultado.)

Sabendo disso, B tem por interesse, na segunda etapa, oferecer a A o mesmo valor que ele receberia na terceira etapa, e ficar com o resto para si (lembrando que o “resto” da segunda etapa é maior que o “resto” da terceira etapa).

Outra vez, antecipando este comportamento, A resolve oferecer a B, já na primeira etapa, o mesmo que B ganharia na segunda etapa. E, portanto, o acordo é feito já na primeira rodada sob a ótica das hipóteses do problema. Em termos numéricos do nosso exemplo, substituindo t por 0,10 e considerando a divisão inicial de 100 reais, significa dizer que A receberá 91 reais e B receberá 9 reais. Completando na tabela inicial,obteremos:

Número de Etapas Recompensa de A Recompensa de B
1 100 0
2 10 90
3 91 9

Ou ainda, em forma de variáveis, “normalizando” o bem a ser divido para uma unidade, obtemos:

Número de Etapas Recompensa de A Recompensa de B
1 1 0
2 1 – δ δ
3 1 –  (δ – δ2 )     (δ – δ2 )

Apenas para que fique claro em relação a forma de interpretar o quadro acima: ele nos mostra que em um jogo de três etapas, a recompensa do jogador A será de 1 –  (δ – δ2 ) . Destaco apenas que A obterá este valor ainda na PRIMEIRA etapa. O mesmo vale para a recompensa de B.

Chegamos a um ponto interessante. Um leitor mais familiarizado com matemática, pode perceber o que irá acontecer com esta série caso continuemos o número de etapas em sequencia ate o “infinito”. Para quem não percebeu (como eu na primeira vez que vi o modelo), vamos colocar a questão de outra forma.

A recompensa de A, de acordo com o número de etapas que tem o jogo, começa a demonstrar um determinado padrão:

 1 ( uma etapa ),  1 –  δ (duas etapas) , 1  –  δ +  δ2  (três etapas) , 1 –  δ +  δ2 –  δ3  (quatro etapas) 

Se continuamos essa sequencia e rearrumamos os valores, apos n etapas, obtemos:

 1 +  δ2 +  δ4 +  δ6 …  – δ –  δ –  δ5 …

Somando as duas progressões geométricas infinitas obtidas anteriormente, temos que:

(1 / ( 1 – δ )) –  (δ / ( 1 – δ2 )) = 1 / 1 + δ

 E em relação às recompensas de B, podemos representar da mesma forma, de acordo com as etapas obtidas pela tabela acima:

0 (uma etapa),    δ  (duas etapas) ,    δ –  δ2 (três etapas)    , δ – δ2  + δ3  (quatro etapas)

Se continuamos essa sequencia e rearrumamos os valores, apos n etapas, obtemos:

0δδ3 δ5  – δ2 – δ4 …           

E utilizando a forma de soma de progressões geométricas, obtemos por fim.

1 / ( 1 – δ) – δ2( 1 – δ) = δ / ( 1+ δ )       

Ou seja, quando este jogo tende ao infinito (ou a um número de jogadas não limitado), teremos como equilíbrio o seguinte resultado em função de δ :

(A, B):  (  1 / (1+ δ) , δ / (1+ δ), o primeiro valor relativo a A e o segundo relativo a B.

Se recordarmos que o fator de desconto ( t ) esta inversamente relacionado com o valor de δ , podemos tirar interessantes conclusões com base nestes resultados. Quanto mais custoso for o fator de desconto ( t ), menor será o valor a ser dividido na próxima rodada. E quanto mais “desgastante” o processo, mais importante fazer a divisão logo no inicio para que o valor total não se deprecie.

No texto, faço as interpretações deste modelo e o que podemos entender com base nele. Recordo apenas, que apresentei uma versão muito simplificada do modelo de barganha de Rubinstein. Existem muitas outras complicações no modelo original.

Aproveito para frisar que não destacarei no corpo do texto algumas outras conclusões interessantes do modelo, como por exemplo,  o fato de que (a) jogadores muito pacientes tendem a dividir o total praticamente meio a meio; (b) existe grande vantagem em ser o primeiro jogador a propor uma divisão.

Recomendo aos interessados por este assunto, ver os seguintes links: http://www.youtube.com/watch?v=EunqjqDR9_w – parecido com o que fizemos aqui, em inglês. Para aqueles com muita facilidade com matemática, ver a versão original do artigo do autor: http://arielrubinstein.tau.ac.il/papers/11.pdf es here

O jogo descrito no início do artigo é conhecido pelo nome de “O modelo de Barganha de Rubinstein”. Eu apenas ilustrei de forma simplificada as suas características para fazer com que fosse mais fácil compreender a sua idéia. Este modelo faz parte de uma interessante área de estudo em Microeconomia, conhecida como a “Teoria da barganha”, bastante associada à Teoria dos Jogos.

Resumidamente, estes teóricos estudam como estabelecer estratégias em situações em que “jogadores” (adversários, países, políticos e etc., dependendo da situação) devem negociar entre si algum bem ou território passível de divisão. O modelo apresentado anteriormente, assim como as condições estipuladas, é apenas um dentre inúmeros outros exemplos existentes na literatura.

Nesta altura, você talvez deva estar se perguntando: porque tratar deste tema no Conexão Israel?

Muito bem. Preciso primeiro contar um pouco sobre o autor, a quem este modelo deve o seu nome. Ariel Rubinstein tem um currículo invejável. Professor das universidades de Tel Aviv e  Nova Iorque, ganhador do premio Israel de economia em 2002 e um dos maiores teóricos de Teoria dos Jogos da atualidade, ele ocupa uma posição de destaque na sociedade israelense e no cenário acadêmico mundial.

Ele também é reconhecido por ter opiniões e atitudes que vão contra o senso comum. Coloca todos seus livros e suas publicações para download grátis em seu website (elaborado por ele mesmo) [ii] ; não acredita na aplicação de teoria dos jogos a situações práticas, mesmo sendo um dos mais respeitados acadêmicos na área [Aos interessados por esta discussão, sugiro este link]; e critica de forma muito severa a veracidade das análises feitas pelo best seller Freackonomics.

Ariel Rubinstein esteve relacionado com a criação do movimento Paz Agora (Shalom Achshav). Ele rejeita a ocupação dos territórios da Cisjordânia e tem visões consideradas de esquerda no espectro político israelense.

O modelo de Rubinstein nos diz que em situações de barganha onde o valor do objeto dividido se reduz ao longo do tempo, os jogadores têm incentivos de dividirem o total logo na rodada inicial. Quanto maior for a quantidade reduzida por vez (em nosso jogo ilustrativo era 1 casa por rodada, mas poderiam ser 8, 16, 32 casas ), maior será o incentivo dos jogadores de buscar uma solução mais precoce (melhor explicado no Box 1).

Qual o racional por trás disto?

Podemos interpretá-lo de uma das seguintes formas: (a) cada vez que não se chega a um consenso, os dois lados vão se “desgastando” e fica mais e mais difícil chegar a um acordo ou (b) os jogadores estão sendo punidos por sua incapacidade de cooperar ou por sua inabilidade em se comprometer a algo que ambos fiquem satisfeitos.

O modelo de Rubinstein é uma abstração teórica. Não existem paralelos práticos e tampouco sua solução, apesar de elegante, pode ser aplicada a realidade. O próprio autor faz questão de não misturar os assuntos. Ele se refere a seus estudos como extremamente teóricos, normativos e distantes da aplicação real.[iii]

Mas ao estudar o seu modelo pela primeira vez e conhecendo um pouco da sua historia e suas opiniões, ignorei um pouco as próprias recomendações do autor e tirei uma interpretação prática do seu modelo para o conflito entre israelenses e palestinos: cada vez que uma oportunidade é desperdiçada, as futuras soluções se tornam mais custosas e difíceis. E pior, começam a exigir passos cada vez mais dolorosos de ambos os lados, que de forma metafórica neste texto, são representados pela diminuição do tamanho do tabuleiro representado no inicio deste texto. Acredito que está mais do que na hora de pararmos de reduzir o tamanho do tabuleiro. Ele já começou muito pequeno. Não podemos nos dar ao luxo de perder mais casas.

 


[i]  Recomendo o livro Teoria dos Jogos com aplicações em Economia, Administração e Ciências Sociais, Ronaldo Fiani, Editora Campus, Terceira Edição. Para uma formalização deste tema em português.

[ii] http://arielrubinstein.tau.ac.il/

[iii]http://arielrubinstein.tau.ac.il/papers/freak.pdf

[iv] Imagem de capa retirada de: http://www.augustana.edu/users/arwalters/assignments/ar223-trompe_examples.htm

Comentários    ( 4 )

4 Responses to “O custo de não cooperar”

  • Mario S Nusbaum

    15/11/2013 at 20:33

    Muito interessante (e bom) esse seu artigo! Adoro teoria dos jogos e estatística e não conhecia este modelo.
    Como o próprio autor dele diz, extremamente teórico, normativo e distante da aplicação real.
    Só que o caso Israel x palestinos não tem NADA a ver com ele, nem teorica nem praticamente.
    Ele não acredita na aplicação de teoria dos jogos a situações práticas, mas mesmo que acreditasse, com certeza não seria aplicável a ESSA situação prática. Já chego lá

    “Ele rejeita a ocupação dos territórios da Cisjordânia e tem visões consideradas de esquerda no espectro político israelense.”
    A mim parece óbviio que só existe uma EXIGÊNCIA palestina que Israel não pode aceitar.
    O modelo prevê duas regras, mas para os palestinos existe uma a terceira regra: encerradas as negociações eu fico com TODAS as casas!

    Como eles NUNCA abriram mão dela, o modêlo não se aplica, Israel foi obrigado a mudar de tática. Tanto faz oferecer 1 ou 63 casas, LOGO, fica com todas e vamos ver o que acontece.

    Para que fique claro: sou contra os assentamentos, mas entendo que é a favor.

  • Mario S Nusbaum

    15/11/2013 at 20:34

    Correção: QUEM é a favor. E aproveitando: eles querem tudo e não aceitam menos, logo, vamos pegar tudo antes.

  • Raul Gottlieb

    18/11/2013 at 10:48

    Caro Amir,

    Confesso que não li a longa exposição do modelo. Já supus de partida que não ia conseguir entender e foquei apenas no teu muito bem escrito texto.

    Fiquei com a impressão que o modelo descrito se aplica muito bem para certas transações comerciais onde o tempo (e outros fatores) conspira contra os interesses dos dois negociadores.

    Mas no caso do conflito dos árabes com Israel o fator tempo é bem diferenciado para cada um dos players:

    Israel: quer desmobilizar o exército o quanto antes e lançar mão dos recursos economizados para desenvolver a economia.

    Árabes: querem manter o conflito, pois este lhes garante ajuda internacional e também é uma válvula de escape para a insatisfação de suas populações tiranizadas, além de ser uma desculpa muito eficaz para a própria capacidade administrativa (veja que digo “Árabes” e não “Palestinos” propositadamente, pois os países vizinhos, e não apenas os Palestinos, têm uma grande influência nesta questão).

    Assim que eu pergunto se a teoria dos jogos tem valor quando os opositores não se encontram em posições simétricas. Existe alguma teoria para jogadores assimétricos (que tem interesses diferentes)?

    Abraço,
    Raul

  • Marcelo Starec

    13/12/2013 at 00:51

    Caro Amir,

    Parabéns pelo seu artigo! Entretanto, apesar de ser muito bom para reflexões a respeito do tema, entendo que tal modelo não está adequado ao conflito Israel vs. Palestinos. Isto porque na prática nem todas as questões são pior solucionadas com o passar do tempo. Ao contrário, por exemplo, vizinhos europeus lutaram ferozmente durante vários séculos até que hoje atingiram uma concepção ora inimaginável de cooperação, a União Européia.

    Assim, eu discordo da idéia de que o desgaste é sempre ruim para a solução do problema. Na verdade, muitas vezes é este desgaste que ensina que a cooperação é necessária, pelo menos no longo prazo, para uma vida melhor a ambos. Por outro lado, uma postura de que vc. precisa desesperadamente negociar e chegar a paz a qualquer custo, pode ser entendida pelo outro lado como um sinal de fraqueza e portanto a um entendimento de que é possível “ficar com todas as casas”.

    Pensando de maneira muito simplista, se uma barata entrar na sua casa, é certo que vc. não vai negociar com ela – portanto negociação só existe entre quem tem pelo menos algum poder. Senão o melhor cenário para quem não tem nenhum poder é aceitar qualquer “esmola” do outro lado, isto se este tiver disposição para tal.

    Assim, acredito que muitos dos´palestinos só aceitam negociar de fato quando entenderem que não há outra solução possível para eles e que a alternativa a negociação é uma vida de qualidade baixa e sem perspectiva de melhora. Na mesma linha, também há dentre os nossos gente que acredita jamais precisar negociar, o que também é um erro.

    Abraço,
    Marcelo.